C++でマージソートを実装してみる - プログラミング原人の進化論

今まで初等的なソートアルゴリズムである挿入ソート、バブルソート、選択ソートを実装してきました。
しかし、これらは簡単に実装できるものの、遅いです。そこで、今度はより高速なソートアルゴリズムを実装してみたいと思います。今回はマージソートです。

目標

マージソートを実装できるようになる。

マージソート

マージソートは分割統治法を利用した高速なソートアルゴリズムです。分割統治法とは、問題を分割（devide）して部分問題を解いて（solve）から、それらを統合（conquer）して解を得る手法の総称です。
マージソートでは、配列をどんどん２つに分割していき、１要素ごとにまで分解してから、ソートしながら統合します。

アルゴリズム

配列を１つの要素づつの配列に分解する（devide）。
以下を繰り返す：
- 隣り合う２つの部分列から、要素を小さい順に取り出して並べ、配列に格納する（solve & conquer）。
- 統合してできたソート済みの新たな配列を部分列とする。これは次の統合に使用される。

f:id:atuyusan:20190215113903p:plain

上の図の統合部分を木構造と見ると、階層の数は $x = O(log N)$ （ $2^x \sim N$ より）。統合に利用する２つの部分列の要素数をそれぞれn1、n2とすると、１回の統合につき計算量はn1+n2なので１階層の統合につき計算量は $O(N)$ 。したがって、マージソートの計算量は $O(N log N)$ となります。バブルソート（ $O(N^2)$ ）などの初等的ソートアルゴリズムに比べてだいぶ速いことがわかります。

実装してみる

順を追って実装していきます。まずはマージソートを行う関数merge_sortを定義します。再帰関数を利用します。
部分列の範囲を指定するのに変数left、rightを使用しています。それぞれ部分列の先頭、末尾+1の要素を指し、left、rightを移動することで配列の分割を表現します。要素が１つの場合（left+1 = right）は何もせず、そうでない場合は２つの部分列に分けて再帰的に自分自身を呼び出しています。

void merge_sort(int A[], int left, int right) {
  if (left + 1 < right) {
    int mid;
    mid = (left + right) / 2;
    // devide
    merge_sort(A, left, mid);
    merge_sort(A, mid, right);
    // conquer
    merge(A, left, mid, right);
  }
}

次に２つの部分列を統合する関数mergeを実装します。ここで注意してほしいのは、部分列R、Lの最後に定数INFTYを格納することで要素数がそれぞれn1+1、n2+1となっていることです。INFTYには、配列に格納されている全ての値より大きな値を指定します。統合の際に要素の大きさを比較していますが、末尾をINFTYとすることにより、ここの実装が簡単になります。片方の部分列の要素が統合先に全て格納されたとき、もう片方の部分列の要素がINFTYと比較され統合先に順々に格納されるることになるからです。

void merge(int A[], int left, int mid, int right) {
  int i, j, k;
  int n1, n2;  // 部分列L, Rの要素数決定に利用
  
  n1 = mid - left;
  n2 = right - mid;
  
  int L[n1+1], R[n2+1];
  
  for (i = 0; i < n1; i++) L[i] = A[left + i];  
  for (i = 0; i < n2; i++) R[i] = A[mid + i];
  L[n1] = INFTY;
  R[n2] = INFTY;

  // sort
  j = 0;
  k = 0;
  for (i = left; i < right; i++) {
    if (L[j] <= R[k]) {
      A[i] = L[j];
      j++;
    } else {
      A[i] = R[k];
      k++;
    }
  }
}

問題を解いてみる

上で実装した関数を利用して、Aizu Online Judgeの問題を解きます。
http://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/description.jsp?id=ALDS1_5_B

#include<iostream>
using namespace std;

#define INFTY 1000000001
int cnt = 0;

void merge(int A[], int left, int mid, int right) {
  int i, j, k;
  int n1, n2;  // 部分列L, Rの要素数決定に利用
  
  n1 = mid - left;
  n2 = right - mid;
  
  int L[n1+1], R[n2+1];
  
  for (i = 0; i < n1; i++) L[i] = A[left + i];  
  for (i = 0; i < n2; i++) R[i] = A[mid + i];
  L[n1] = INFTY;
  R[n2] = INFTY;

  // sort
  j = 0;
  k = 0;
  for (i = left; i < right; i++) {
    if (L[j] <= R[k]) {
      A[i] = L[j];
      j++;
    } else {
      A[i] = R[k];
      k++;
    }
  }
}

void merge_sort(int A[], int left, int right) {
  if (left + 1 < right) {
    int mid;
    mid = (left + right) / 2;
    // devide
    merge_sort(A, left, mid);
    merge_sort(A, mid, right);
    // conquer
    merge(A, left, mid, right);
  }
}

int main() {
  int i, n, S[500000];

  cin >> n;
  for (i = 0; i < n; i++) cin >>  S[i];

  merge_sort(S, 0, n);

  for (i = 0; i < n; i++) {
    if (i > 0) cout << " ";
    cout << S[i];
  }
  cout << endl;
  cout << cnt << endl;

  return 0;
}